Criza economică - cauze, caracteristici, implicaţii

Matematica Crizei sau Criza Matematicii?
O analiză a modelelor matematice folosite în analizele financiare¹

RADU LUPU şi
SORIN DUMITRESCU

Abstract:
The mathematical models were severely criticized at the burst of the current financial turmoil. The theoretical approach to valuation of financial instruments heavily relies on the criticized methodology and many financial analysts are blaming the models to have misled them to bad investments. The financial theory describes the developed capital markets as efficient, which means that the past cannot be used to produce exact point forecasts. In other words, the main theory on the dynamics of financial markets is based on the fact that the future is not predictable, hence, efficient. On the other hand, the financial literature produced a lot of analysis and technology in the last 40 years on the characterization of rare events. We analyze the current reaction and show evidence on the support of financial modeling in finance.

Keywords: Financial crisis, Mathematical models, Value-at-Risk, Model risk, Efficient markets

Modelele matematice au fost criticate sever de către mulţi participanţi la piaţă, de la investitori şi analişti financiari până la economişti celebri. Sintagma „chiar disciplina de economist este pusă în discuţie în aceste momente de criză” a făcut deja carieră. Ne propunem în acest articol să prezentăm o mică istorie a modului în care matematica a început să îşi facă simţită prezenţa în economie şi să propunem o viziune personală în ce priveşte situaţia modelelor matematice folosite în domeniul analizelor financiare cu analiza argumentelor pro şi contra enunţate cu privire la utilitatea acestora pentru domeniul finanţelor în general. Ca atare, în continuare articolul prezintă câteva idei privind semnificaţia modelului matematic şi a modului în care acesta a pătruns în economie, pentru ca ulterior să prezinte importanţa modelelor matematice pentru domeniul finanţelor şi argumentarea necesităţii acestora.

Modelul matematic

Dicţionarul explicativ al limbii române prezintă modelul, ca termen general dar în sensul în care dorim să abordăm această problemă, ca fiind „un sistem teoretic sau material cu ajutorul căruia pot fi studiate indirect proprietăţile şi transformările altui sistem, mai complex, cu care primul sistem prezintă o analogie”. Marele dicţionar de neologisme consideră că modelul este „un sistem ideal sau material cu ajutorul căruia pot fi studiate, prin analogie, proprietăţile şi transformările unui alt sistem mai complex” sau „schemă teoretică elaborată în diferite ştiinţe pentru a reprezenta elementele fundamentale ale unor fenomene sau lucruri”.

Într-o accepţiune generală specia de modele de tip matematic reprezintă o categorie a logicii matematice prin care se înţelege folosirea limbajului matematic cu scopul de a realiza o reprezentare a elementelor esenţiale ale unui sistem (existent sau care urmează să fie construit) cu scopul de a permite cunoaşterea sistemului respectiv într-o manieră care să faciliteze utilizarea acestuia.

Modelul matematic în economie

Momentul la care matematica a devenit o metodă de cunoaştere pentru economie nu poate fi punctat cu precizie în fluxul de evenimente care marchează evoluţia acestei zone a cunoaşterii. Remarcăm, în treacăt, că anumiţi analişti o consideră ştiinţă numai datorită faptului că metodologia de analiză este cea matematică. De fapt, prestigiul de ştiinţă măsurabilă a fost, cu precădere, rezultatul unor eforturi de natură financiară în sensul susţinerii unor analişti cu deschidere spre ştiinţele exacte din perioada interbelică din SUA.

Probabil unul dintre cele mai importante momente pentru această deschidere spre matematică a fost crearea în 1930 a Societăţii de Econometrie care publică revista Econometrica². Această societate a fost fondată la iniţiativa lui Irving Fisher şi a lui Ragnar Frisch, iar revista Econometrica a fost publicată pentru prima dată în 1933, cu Frisch ca redactor şef şi cu ajutorul financiar furnizat de reputatului om de afaceri Alfred Cowles. Provenit dintr-o familie înstărită, Alfred Cowles III a fost fondatorul Comisiei Cowles pentru Cercetare în Economie, un institut de cercetări economice deschis la Universitatea din Chicago şi mutat de către Koopmans la Universitatea Yale în 1955, sub denumirea de Fundaţia Cowles.

Moto-ul Comisiei Cowles – „Ştiinţa este Măsurare” (en. Science is Measurement) demonstrează obiectivul urmărit de această organizaţie, respectiv încercarea de realizare a unei punţi între teoria economică şi matematică şi statistică, contribuţiile principale constând în crearea şi consolidarea a două domenii considerate ca fiind importante: teoria echilibrului general şi econometria. Cea mai importantă trăsătură a programului finanţat de familia Cowles o reprezintă specializarea în direcţia construcţiei unui cadru probabilistic de estimare a sistemelor de ecuaţii simultane pentru modelarea unei economii cu interesul vădit înspre obţinerea de informaţii necesare deciziilor de politică economică.

În ciuda multor speculaţii cu privire la obiectivul acestei organizaţii, trebuie precizat faptul că ea nu a avut în vedere simpla idee de promovare a instrumentelor matematice în economie, ci un program care vizează dezvoltarea metodologiei şi care urmăreşte mai ales formularea de modele matematice pe baza teoriei economice existente (fundamentare a priori). Astfel, programul Cowles a construit de-a lungul timpului metode care să evite constrângerile impuse de instrumentele statistico-matematice care puteau fi împrumutate ca atare şi să răspundă unor necesităţi care ţin de specificul disciplinei, cum sunt simultaneitatea comportamentului economic şi complexitatea acestuia – tratată prin sistemul de ecuaţii simultane sau caracterul aprioric al analizei – metoda analizei bayesiene. La acestea se adaugă, de asemenea, transpunerile în limbaj matematic ale unor elemente de comportament economic, proces prin care a avut loc o standardizare a abordărilor cu privire la fundamentarea deciziilor de politică micro şi macroeconomică. Se pot menţiona aici conceptele perturbaţiei, erorii normale şi non-normale sau a sistemului de ecuaţii dinamic stabile.

În concluzie, existenţa acestei organizaţii, a Societăţii de Econometrie şi a acestui jurnal au determinat de-a lungul timpului formularea de metode de măsurare a fenomenelor economice cu scopul ca acestea să poată fi folosite pentru implementarea de politici.

Deşi această evoluţie instituţională, pornită probabil din necesitatea de rigoare în ceea ce priveşte luarea deciziilor, a determinat consacrarea disciplinei economice la nivelul de ştiinţă premiată Nobel, trebuie remarcat faptul că există mai multe puncte de vedere cu privire la măsura în care acest instrument este util sau poate fi făcut să fie util. De fapt problematica posibilităţilor de măsurare a fenomenelor economice în sine nu este tranşată.

Această evoluţie în epistemologia economică a dus la o explozie a aparatului matematic folosit în evaluarea activelor în anii 1970. Acest deceniu debutează cu extrapolări, ulterior consacrate în teoria economică, dinspre analiza semnalelor şi teoria identificării, ca elemente din fizica modernă, către teoria finanţelor. Intensificarea fluxurilor financiare pe de-o parte, dar şi proliferarea noilor instrumente pe de altă parte, are ca efect necesitatea caracterizării cât mai sintetice a unei cantităţi semnificative de informaţii numerice. Bursele de valori şi de mărfuri dispun de o frecvenţă extrem de ridicată a datelor financiare – se pot obţine date cu frecvenţe de cinci minute sau chiar la fiecare secundă. Abundenţa acestor informaţii care caracterizează activitatea economică la nivel micro (în general a companiilor) spre deosebire de frecvenţele reduse, cel mult lunare şi de cele mai multe ori trimestriale, pentru caracterizarea agregatelor macroeconomice (inflaţia, PIB-ul, producţia industrială etc.) a determinat o invazie a instrumentelor de factură statistico-matematică în caracterizarea datelor.

Dinamismul în procesul de luare a deciziei, impus de aceste fluxuri, amplifică necesitatea unei caracterizări „exacte” a situaţiei de ansamblu şi a perspectivelor. Prin urmare, dacă metodologia matematică de analiză economică avea deja un istoric semnificativ în ceea ce priveşte dezvoltarea macroeconomică, anii 1970 au un aport semnificativ pentru această metodologie, îmbogăţind-o cu teoria finanţelor în timp continuu.

Utilizarea acestei componente metodologice, la fel ca toate celelalte unelte folosite pentru caracterizarea fenomenelor economice, este în mod fundamental expresia principiului de caracterizare a unui fenomen prin folosirea unor instrumente deja existente, respectiv principiul măsurii sau al măsurării.

Într-o definiţie clasică şi care este considerată standard pentru ştiinţele înrudite fizicii, măsurarea reprezintă determinarea sau estimarea unor raţii sau cantităţi. Cantitatea şi măsura se definesc reciproc: atributele cantitative sunt acelea care pot fi măsurate, cel puţin în principiu. În teoria reprezentării, măsurarea este definită ca fiind „corelarea numerelor cu entităţi care nu sunt numere”. Cea mai puternică formă a teoriei reprezentării atribuie numere pe baza corespondenţelor sau asemănărilor dintre structura sistemului numerelor şi structura sistemului calitativ. Astfel, o anumită proprietate este cantitativă dacă se pot stabili aceste asemănări.

Aşadar, urmând principiul mai sus enunţat, teoria finanţelor în timp continuu uzează de un rezultat din teoria probabilităţilor, ramura proceselor stocastice, pentru a prezenta proprietăţile randamentelor activelor financiare. Rezultatul este cunoscut sub denumirea de Lema lui Ito, iar ideea extrapolării îi aparţine lui Robert Merton. De fapt este vorba despre încercarea de a obţine informaţii cu privire la caracteristicile unei variabile economice, fără a face referire la teoria economică în forma clasică a acesteia, deci, fără a apela la proprietăţi fundamentale ale acestei variabile economice³.     

Raţionamentul elaborat de Merton are la bază o ipoteză fundamentală, care, la momentul prezentării teoriei enunţate, este constrângătoare şi nerealistă pentru fenomenele economice ce se doreşte a fi caracterizate. Pe scurt aceasta afirmă că randamentele activelor economice urmează o lege probabilistică cunoscută, distribuţia de probabilitate normală (aşa-numitul „clopot al lui Gauss”). Apare din nou expresia principiului măsurării – folosirea etalonului Gauss ca instrument pentru caracterizarea „comportamentului”⁴ randamentelor.

Cu toate acestea, ipoteza normalităţii randamentelor reprezintă doar un pas în dezvoltarea teoriilor ulterioare. Ca în multe alte exemple, ideea fundamentală apare abia după enunţarea ipotezei, astfel încât „relaxarea” acesteia (respectiv renunţarea la ipoteza constrângătoare potrivit căreia randamentele sunt normal distribuite şi folosirea unor ipoteze mai realiste care „relaxează” constrângerile impuse) a permis apariţia multor studii realizate iniţial chiar de acelaşi autor, ulterior de mulţi alţii în ultimii aproape 40 de ani cu rezultate care nu au alterat ideea principală a modelului.

Exemplul acestei teorii a finanţelor în timp continuu este probabil repetat în multe alte dezvoltări în ştiinţele economice. El este expresia necesităţii unei înţelegeri amănunţite a istoriei, mai exact a caracterului repetitiv al acesteia pentru obţinerea de informaţii care pot fi utile pentru luarea deciziilor.

Gândirea prospectivă – ştiinţă sau nu?

Utilizarea modelului matematic ca instrument metodologic de analiză în cercetarea economică are o istorie deja consacrată în dezbateri mai aprinse la mijlocul secolului trecut, având o oarecare intermitenţă, cu mai multă pregnanţă în jurul evenimentelor de declin economic. Este, prin urmare, de aşteptat ca metoda modelului economic să revină din nou în atenţie în momentul unei crize economice globale. Şi atunci când afirmăm că „este de aşteptat”, facem de fapt referire la un raţionament care admite că „istoria se repetă” în sensul că luăm parte la realizarea unei conjuncturi de evenimente care „nu ne miră”, ale căror efecte ne demonstrează analogia cu experienţa şi care, în ultimă instanţă, ne creează motivaţia pentru cunoaştere, pentru învăţare. Aserţiunea, tot mai des întâlnită în perioada crizei actuale, conforma căreia „nu suntem în stare să prezicem evenimentele viitoare” are la bază un sentiment, o evocare a incapacităţii umane de a-şi pune problema viitorului, cu tot pesimismul aferent (deci la „cheremul” simţurilor) şi chiar o instigare la renunţare, la eliminarea tuturor încercărilor, la resemnare. Teoria, pe de altă parte, este acea construcţie logică ce nu permite „divagări sentimentale”, este absolută. Teoria care stă la baza finanţelor moderne din zilele noastre este teoria pieţelor eficiente. Mai exact, în urma unor analize din 1953 asupra măsurii în care dinamica pieţelor prezintă elemente de recurenţă, Maurice Kendall ajunge la concluzia că nu există astfel de recurenţe, că nu există instrumente (matematice sau de altă natură) care să susţină ideea că pieţele sunt predictibile. Prima impresie la momentul respectiv a fost că investitorii sunt iraţionali, că o astfel de situaţie nu poate fi admisă, că este imposibil ca pieţele să nu prezinte elemente repetitive. Ne putem imagina uşor reacţiile produse de o asemenea demonstraţie. O analiză contrafactuală, ne poate ajuta mai mult în încercarea de a caracteriza piaţa în general. Astfel, în cazul în care istoria ar fi putut să ne ajute pentru a face predicţii am ajunge la situaţia în care oricine poate prezice viitorul şi, acţionând în sensul obţinerii de profit datorită acestui avantaj informaţional, va lua fie o decizie de cumpărare, fie una de vânzare. Fructificarea avantajului depinde însă de realizarea tranzacţiei la un preţ care să păstreze avantajul, deci, de disponibilitatea unei alte persoane sau instituţii de a lua poziţia inversă, respectiv poziţia pierzătoare. Însă, atâta vreme cât oricine poate prezice viitorul, cealaltă persoană (contra-parte la tranzacţia prezentată), deşi deţinătoarea informaţiilor cu privire la viitor, ar trebui să facă o tranzacţie care să îi aducă pierderea. Prin urmare, investitorul care doreşte să fructifice avantajul deţinerii informaţiei cu privire la viitor, este dependent de o decizie greşită a persoanei sau instituţiei cu care face tranzacţia. Prin urmare, fie contra-partea decide să piardă (ceea ce ar invalida raţionalitatea acesteia, decizia de a face o tranzacţiei care să îi aducă pierdere), fie nu are informaţii cu privire la viitor (ceea ce ar invalida ipoteza conform căreia oricine poate să prezică, oricine are acces la viitor), fie contra-partea nu doreşte să facă tranzacţii decât la un preţ corect, respectiv un preţ care reflectă toate cunoştinţele cu privire la ceea ce urmează să se întâmple (ceea ce invalidează ipoteza conform căreia preţul din viitor poate fi cunoscut în prezent). Dacă ne putem baza pe acest raţionament, atunci vom ajunge la concluzia că istoria nu poate fi folosită pentru a prezice preţul viitor, şi atunci situaţia de normalitate nu este aceea în care preţurile pot fi prezise, ci mai curând cea în care viitorul este necunoscut, dependent de viitoarele informaţii care, la rândul lor, nu pot fi prezise.

Trebuie menţionat faptul că punctul de plecare al raţionamentului de mai sus este aserţiunea conform căreia „viitorul este cunoscut de oricine”. Negarea acesteia este „viitorul este cunoscut de cineva sau este necunoscut” şi nu forma absolută „viitorul este necunoscut”. Posibilitatea existenţei unei pieţe coerente în momentul în care cineva deţine informaţii despre viitor şi ceilalţi participanţi la piaţă nu au aceste informaţii (situaţii de asimetria informaţiilor) este un aspect care merită studiat mai atent. Acest rezultat lasă uşa deschisă încercărilor de a produce previziuni. Cu alte cuvinte, viitorul poate rămâne necunoscut în urma eforturilor de anticipare dar posibilele avantaje obţinute din încercările de estimare ale acestuia pot să merite efortul. Obţinerea acestui avantaj informaţional se poate realiza fie ilicit, prin cunoaşterea apriori a evenimentelor care urmează să fie anunţate în piaţă în viitor, fie în mod legal, prin încercarea de a produce predicţii. Astfel un investitor poate rămâne în dezavantaj informaţional dacă nu foloseşte tehnicile de predicţie utilizate de ceilalţi participanţi la piaţă – reacţia de a folosi aceleaşi metode rezultă din teama ca contra-partea să deţină mai multe informaţii despre viitor sau informaţii de o calitate superioară.

În ultimă instanţă merită spus faptul că tehnicile de estimare bazate pe metode statistico-matematice au în vedere o simplă caracterizare a trecutului, în sensul contabilizare a acestuia. Statistica a produs şi produce în continuare indicatori care structurează multe informaţii despre trecut în câteva idei, sau semnale. Incapacitatea de a spune cu exactitate care va fi viitorul sau de a prezice în mod clar momentul şi dimensiunea unui eveniment rar (de tipul unei crize financiare) este astfel independentă de folosirea instrumentelor matematice în caracterizarea trecutului. Rolul acestora este de a produce şi mai multă eficienţă în piaţă şi nu de a elimina eficienţa prin cunoaşterea viitorului. Reacţiile recente de criticare a modelelor matematice folosite în scopul cunoaşterii caracteristicilor pieţelor financiare este poate marcată de inacceptarea faptului că cea mai bună teorie pe care economiştii o pot produce cu privire la comportamentul pieţelor este aceea conform căreia pieţele nu sunt predictibile. Această teorie, însă, reuşeşte să descrie realitatea economică printr-o construcţie logică greu de combătut. Măsura în care pieţele reuşesc să fie sau nu eficiente constituie o discuţie care deschide din nou drumul predicţiilor pentru că, dacă invalidăm ipoteza eficienţei pieţelor, atunci ajungem la sintagma „oricine poate să prezică viitorul” sau la situaţii în care „numai cineva poate să prezică viitorul” (respectiv situaţii de asimetrie informaţională).

În altă ordine, instrumentele matematice transpun într-un limbaj comun şi simplu informaţiile cu privire la trecut. Considerăm relevant faptul că matematica nu este altceva decât o transformare a gândirii logice în sintagme universale, uşor de înţeles odată ce limbajul este cunoscut. Puterea de sinteză şi uşurinţa în comunicare conferă acestor instrumente utilitatea recunoscută de instituţiile financiare înainte şi chiar şi după criză.

Matematica „de criză”

Modelul, de orice natură, este, după cum am văzut, un sistem teoretic care porneşte de la enunţarea unor ipoteze cu privire la realitate şi încercarea de continuare a unui raţionament valabil numai în măsura în care ipotezele sunt corecte. Cu alte cuvinte, dacă ipotezele sunt greşit formulate, rezultatul raţionamentului este, de asemenea, greşit. Am observat în mai multe rânduri cum modelul matematic a devenit un adevărat produs de consum şi, aflat la îndemâna consumatorului, acesta i-a dat mai multă sau mai puţină importanţă. Astfel, în perioada de creştere economică produsul matematic a alimentat dorinţa de a avea mai mult decât ne poate da, după nevoia comportamentală de supraevaluare a resurselor disponibile, ceea ce a dus la situaţii de utilizare greşită a rezultatelor produse de modele, mai ales datorită unei rupturi între ipotezele care au stat la baza modelului şi rezultatele obţinute. În această categorie pot fi menţionate modelele simple de tipul Value-at-Risk sau Copula care se bazează pe ipoteza unei distribuţii normale a randamentelor activelor financiare deţinute de instituţiile financiare care le folosesc. În acelaşi sens poate fi menţionată aceeaşi reacţie comportamentală de subevaluare a produsului matematic în perioada crizei, pe fondul unui pesimism al resurselor care pot fi folosite în încercarea de a prezice viitorul.

O zonă în care modelele matematice au avut mult succes este aceea a managementului riscului. Dacă estimările punctuale ale valorilor viitoare ale variabilelor economice sunt incompatibile cu ipoteza eficienţei pieţelor, predicţiile cu privire la volatilităţile viitoare nu încalcă nicio teorie economică. Modelele din clasa celor care permit astfel de estimări sunt rezultatul unor tehnologii premiate Nobel şi ţin cont de proprietăţi ale randamentelor activelor financiare care controlează fenomene de tipul evenimentelor extreme. Punerea semnului de echivalenţă între volatilitate şi risc a determinat dezvoltarea tehnicilor matematice de predicţie a riscului cu scopul de a estima cantitatea de bani care poate fi păstrată sub formă de provizion pentru a acoperi eventualele pierderi viitoare. Estimări ale pierderilor posibile permit determinarea cuantumului acestor provizioane pe baza volatilităţilor viitoare.

Modelele Value-at-Risk, des criticate în această perioadă, sunt modele care estimează cantitatea de bani care trebuie păstrată sub formă de provizion pentru pierderi viitoare. Varianta simplificată a acestui model nu ţine cont de posibilitatea unor evenimente extreme. În cea mai simplă accepţiuna a acestui model probabilitatea unui eveniment extrem (de exemplu o cădere cu 20% a preţurilor activelor financiare) este aproape zero, respectiv un eveniment virtual imposibil. Cu toate acestea, literatura care critică modelele matematice nu face precizări cu privire la faptul că, după cum am precizat, distribuţia normală este o ipoteză care stă la baza modelelor simple, elaborate cu mai bine de 40 de ani în urmă. În aceşti ani cercetarea academică a făcut eforturi considerabile cu scopul de a elabora tehnologii capabile să dezbată problemele ridicate de non-normalitatea randamentelor, respectiv problemele evenimentelor extreme. Teorii care tratează problema valorilor extreme (Extreme Value Theory) şi modelele difuziei cu salturi (Jump Diffusion Processes) sau a volatilităţilor stocastice (Stochastic Volatility) sunt modele care au atins de multă vreme nivelul „de manual”, în sensul că sunt studiate de studenţi în perioada şcolii şi considerate modele matematice standard de către cercetători. Aceste modele permit calcularea unor valori la risc care admit randamente non-normale şi care sunt mai conservatoare în ceea ce priveşte alegerea oportunităţilor de investire – o creştere a capitalului alocat pentru pierderile viitoare duce la diminuare fondurilor care pot fi investite în instrumente cu volatilitate ridicată, ce pot aduce randamente mai mari.

Încă din perioada precursoare crizei, mai multe entităţi economice atrăgeau atenţia asupra unui nou tip de risc – riscul de model. Existenţa acestei sintagme este expresia o dată în plus a faptului că modelele pot fi distructive atunci când sunt folosite în afara „spaţiului” pentru care au fost create. Un exemplu tot mai mult menţionat este acela al folosirii modelelor de estimare a corelaţiilor dintre active bazate pe aceeaşi ipoteză a normalităţii legăturilor dintre randamentele acestor active, fără o testare a proprietăţilor statistice ale acestora. Extrapolarea unor modele la domenii în afara celor pentru care au fost elaborate iniţial este un proces care poate duce la rezultate de genul celor observate în timpul crizei prin estimarea instrumentelor financiare de tipul celor produse de procedura securitizării.